\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/9791aff8.gif\")
<\/p>\n
\nRYS. 1.<\/em><\/strong><\/p>\n \nPrzestrze\u0144 parametryczna takiego modelu zostaje rozszerzona z jednowymiarowej (u) w przypadku krzywych do dwuwymiarowej (u, v) w przypadku powierzchni. I tak, je\u015bli mamy 4 krzywe B\u00e9ziera stopnia d\u00b0=3 (4 punkty kontrolne), zamykaj\u0105ce pewien obszar w przestrzeni 3D (Rys. 1), to powierzchnia B\u00e9ziera ?rozpi\u0119ta? na tych krzywych jest opisana sieci\u0105 4 x 4 = 16 punkt\u00f3w kontrolnych.<\/p>\n \n<\/em><\/strong><\/p>\n \nJe\u015bli jedna z krzywych podstawowych powierzchni jest typu NUPBS lub NURBS, to powierzchnia wynikowa te\u017c jest typu NUPBS lub NURBS. Stopie\u0144 powierzchni w ka\u017cdym z jej kierunk\u00f3w g\u0142\u00f3wnych (u lub v) jest oczywi\u015bcie taki, jak stopie\u0144 jej krzywych podstawowych w tych kierunkach, a modyfikacje dowolnego punktu kontrolnego sieci powoduj\u0105 ? podobnie jak w przypadku krzywych ? stosowne zmiany kszta\u0142tu powierzchni: globalne w przypadku powierzchni B\u00e9ziera i lokalne w przypadku powierzchni typu NUPBS lub NURBS. Ponadto, podobnie jak dla krzywych, obowi\u0105zuj\u0105 te same zasady dotycz\u0105ce zachowania warunk\u00f3w ci\u0105g\u0142o\u015bci pomi\u0119dzy definiowanymi powierzchniami. Nie zamierzam jednak rozwija\u0107 tego tematu, uznaj\u0105c, \u017ce jest bardzo intuicyjny, zw\u0142aszcza po szczeg\u00f3\u0142owym wyja\u015bnieniu tego zagadnienia w zakresie krzywych.<\/p>\n \nPo takiej, mam nadziej\u0119 nie za du\u017cej dawce teorii powr\u00f3\u0107my do konstruktora mechanika, kt\u00f3ry ma za zadanie zdefiniowanie modelu powierzchniowego jakiej\u015b cz\u0119\u015bci. Napisa\u0142em mechanika, aby ograniczy\u0107 zestaw funkcji CAD do takich, kt\u00f3rych u\u017cywa mechanik, a nie stylista (patrz ?Sztuka modelowania powierzchniowego w systemach CAD?, Design News, Wrzesie\u0144 2006). Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce ten\u017ce konstruktor ma ju\u017c zdefiniowane dwie powierzchnie (A i B na Rys. 2), a jego zadaniem jest zdefiniowanie kolejnej powierzchni C \u0142\u0105cz\u0105cej A z B.<\/p>\n \n \nRYS. 2.<\/em><\/strong><\/p>\n \nMechanik rozpoczyna definiowanie powierzchni od definicji krzywych. Tu mo\u017ce zastosowa\u0107 szereg r\u00f3\u017cnych funkcji, z kt\u00f3rych najprostsze wydaje si\u0119 zdefiniowanie konturu (\u015brodowisko Sketcher w systemie CATIA V5). Je\u015bli kszta\u0142t definiowanej powierzchni, a dok\u0142adniej krzywa przekroju przez t\u0105 powierzchni\u0119 nie jest trywialnym przypadkiem krzywej drugiego stopnia (\u0142uk okr\u0119gu, wycinek elipsy lub paraboli), to taka krzywa mo\u017ce by\u0107 zdefiniowana poleceniem Spline (Rys. 2). Oczywi\u015bcie, skoro trzeba ?dopasowa\u0107? t\u0105 krzyw\u0105 do wcze\u015bniej zdefiniowanych powierzchni A i B, to nale\u017cy zdefiniowa\u0107 zgodno\u015b\u0107 (Coincidence) jej punkt\u00f3w ko\u0144cowych z krzywymi przekroj\u00f3w powierzchni A i B (ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 typu G0) oraz je\u015bli w modelu ko\u0144cowym nie powinno by\u015b ostrej kraw\u0119dzi, to tak\u017ce styczno\u015b\u0107 (Tangency) do tych przekroj\u00f3w (ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 typu G1). Rodzaj oraz liczba krzywych, jakie trzeba przygotowa\u0107 przed rozpocz\u0119ciem definicji powierzchni zale\u017cy od rodzaju funkcji, kt\u00f3r\u0105 konstruktor zamierza zastosowa\u0107. Zanim jednak przejd\u0119 do definicji powierzchni chcia\u0142bym przypomnie\u0107, \u017ce jako\u015b\u0107 powierzchni ko\u0144cowej zale\u017cy od jako\u015bci krzywych zastosowanych do jej definicji.<\/p>\n \nDlatego, mimo \u017ce mechanika na og\u00f3\u0142 nie interesuje matematyczny model krzywej, a jedynie spe\u0142nienie wymaga\u0144 konstrukcyjnych (zgodno\u015b\u0107 punkt\u00f3w skrajnych, styczno\u015b\u0107, ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 itp.), to powr\u00f3\u0107my na chwil\u0119 do teorii i postawmy pytanie: jakiego typu krzyw\u0105 jest Spline zdefiniowana w \u015brodowisku Sketcher?. Definicja takiej krzywej polega na wskazaniu kolejnych punkt\u00f3w (1,2,3,4 na Rys. 3), przez kt\u00f3re system prowadzi krzyw\u0105 g\u0142adk\u0105. Je\u015bli przekszta\u0142cimy t\u0105 krzyw\u0105 w krzyw\u0105 swobodn\u0105 (na przyk\u0142ad poleceniem Control Points \u015brodowiska FreeStyle), to system zdefiniuje krzyw\u0105 opisan\u0105 wielobokiem 12 punkt\u00f3w kontrolnych, z\u0142o\u017con\u0105 z 3 segment\u00f3w, z kt\u00f3rych ka\u017cdy jest opisany przez 6 punkt\u00f3w kontrolnych. Czyli jest to krzywa typu B-Spline zbudowana z 3 krzywych B\u00e9ziera stopnia d\u00b0=5 po\u0142\u0105czonych ze sob\u0105 z zachowaniem ci\u0105g\u0142o\u015bci typu G2. Dok\u0142adniej nale\u017ca\u0142oby powiedzie\u0107, \u017ce jest to krzywa wielomianowa (Polynomial) z nier\u00f3wnomiernym (Non- Uniform) rozk\u0142adem w\u0119z\u0142\u00f3w (NUPBS). W \u015brodowisku Sketcher konstruktor nie widzi wieloboku punkt\u00f3w kontrolnych krzywej typu Spline i w zwi\u0105zku z tym nie mo\u017ce modyfikowa\u0107 po\u0142o\u017cenia punkt\u00f3w kontrolnych, ale mo\u017ce zmienia\u0107 po\u0142o\u017cenie (wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne na p\u0142aszczy\u017anie szkicu) punkt\u00f3w w\u0119z\u0142owych tej krzywej. Nie ma te\u017c mo\u017cliwo\u015bci modyfikacji rozk\u0142adu w\u0119z\u0142\u00f3w, czyli zmiany sposobu parametryzacji krzywej, ale w \u015brodowisku FreeStyle mo\u017ce upro\u015bci\u0107 opis krzywej redukuj\u0105c stopie\u0144 krzywych cz\u0105stkowych na przyk\u0142ad do d\u00b0=3. Takie uproszczenie modelu matematycznego generuje oczywi\u015bcie now\u0105 krzyw\u0105, kt\u00f3ra r\u00f3\u017cni si\u0119 nieznacznie (tu o 0,228 mm) od krzywej pierwotnej. Warto my\u015bl\u0119 przypomnie\u0107, \u017ce to konstruktor podejmuje decyzj\u0119, kt\u00f3ra z krzywych spe\u0142nia wymagania konstrukcyjne i nawet, je\u015bli krzywa B-Spline stopnia d\u00b0=3 r\u00f3\u017cni si\u0119 od krzywej stopnia d\u00b0=5, to nie jest to jednoznaczne z odrzuceniem tej krzywej.<\/p>\n \n \nRYS. 3.<\/em><\/strong><\/p>\n \nJe\u015bli zdefiniowane zosta\u0142y wszystkie wymagane krzywe, to mo\u017cna przyst\u0105pi\u0107 do definicji powierzchni. Tu mechanik ma do wyboru kilka metod: <\/p>\n \n \nRYS. 4.<\/em><\/strong><\/p>\n \n \nRYS. 5.<\/em><\/strong>\u00a0<\/p>\n \n \nRYS. 6.<\/em><\/strong><\/p>\n \nRezultat zastosowania ka\u017cdej z tych funkcji ? czyli powierzchnia C ? spe\u0142nia nie tylko r\u00f3\u017cne warunki ci\u0105g\u0142o\u015bci z powierzchniami A i B, ma r\u00f3\u017cny kszta\u0142t, ale tak\u017ce r\u00f3\u017cny rozk\u0142ad zmian krzywizny. Je\u015bli mechanik buduje model powierzchniowy i wymagana jest ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 typu G2, a \u017caden z powy\u017cszych sposob\u00f3w nie spe\u0142nia wymaga\u0144 konstruktora, to musi on zmieni\u0107 metod\u0119. Na przyk\u0142ad je\u015bli wyjdziemy z za\u0142o\u017cenia, \u017ce pojedyncza krzywa lub powierzchnia ma zawsze ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 typu G2 (de facto standard w wi\u0119kszo\u015bci system\u00f3w CAD), to zamiast definiowania trzech powierzchni (A, B i C) i trzech zestaw\u00f3w krzywych mo\u017cna rozwa\u017cy\u0107 definicj\u0119 jednego ?globalnego? zestawu krzywych, a potem… jednej powierzchni.<\/p>\n \nKilka krzywych, kt\u00f3re maj\u0105 by\u0107 ze sob\u0105 po\u0142\u0105czone z zachowaniem ci\u0105g\u0142o\u015bci G2 musz\u0105 mie\u0107 znany przebieg zmian krzywizny. Szczeg\u00f3lnie wa\u017cne s\u0105 warto\u015bci promienia krzywizny w punktach skrajnych tych krzywych. Na przyk\u0142ad, je\u015bli dwie krzywe pokazane na Rys. 7 maj\u0105 w punkcie wsp\u00f3lnym promienie krzywizny r\u00f3wne odpowiednio 70,918 mm i 100 mm to, aby zapewni\u0107 warunek ci\u0105g\u0142o\u015bci G2 pomi\u0119dzy tymi krzywymi mo\u017cna zmodyfikowa\u0107 pierwsz\u0105 z nich, czyli t\u0105, kt\u00f3ra zosta\u0142a zdefiniowana jako Spline w \u015brodowisku Sketcher. Ustalenie warunku styczno\u015bci oraz promienia krzywizny w punkcie CtrlPoint.2 tej krzywej rozwi\u0105zuje problem ci\u0105g\u0142o\u015bci.\u00a0<\/p>\n \n \nRYS. 7.<\/em><\/strong><\/p>\n \nPodobn\u0105 procedur\u0119 trzeba powt\u00f3rzy\u0107 dla ka\u017cdego innego punktu, w kt\u00f3rym jest wymagane zachowanie ci\u0105g\u0142o\u015bci G2 krzywych. W kolejnych krokach nale\u017cy po\u0142\u0105czy\u0107 odpowiednie krzywe (polecenie Join) i zdefiniowa\u0107 powierzchni\u0119, na przyk\u0142ad Multi-sections Surface (Rys. 8). Liczba krzywych, na kt\u00f3rych ?rozpinana? jest powierzchnia powinna by\u0107 starannie przemy\u015blana ? bo nie jest prawd\u0105, \u017ce im wi\u0119cej krzywych, tym lepsza powierzchnia wynikowa. Dotyczy to oczywi\u015bcie nie tylko krzywych przekrojowych (Sections), ale tak\u017ce krzywych prowadz\u0105cych (Guides).<\/p>\n \n \nRYS. 8.<\/em><\/strong><\/p>\n \nRozk\u0142ad zmian krzywizny jest lepszy ni\u017c poprzednio, cho\u0107 niekoniecznie na tyle dobry, aby usatysfakcjonowa\u0107 wymagaj\u0105cego konstruktora. Zamiast modyfikacji pojedynczych krzywych i \u0142\u0105czenia ich w krzywe zespolone (Join) mo\u017cna zastosowa\u0107 inn\u0105 metod\u0119. Definicja ka\u017cdej krzywej opiera si\u0119 zazwyczaj na ustaleniu kilku punkt\u00f3w, przez kt\u00f3re krzywa musi by\u0107 poprowadzona. Zwykle jest to punkt pocz\u0105tkowy i ko\u0144cowy oraz kilka punkt\u00f3w po\u015brednich. Je\u015bli zdefiniujemy takie punkty skrajne dla krzywych przekrojowych powierzchni A i B (Rys. 9), to na bazie tych punkt\u00f3w mo\u017cna zbudowa\u0107 krzyw\u0105 typu Spline (polecenie Spline \u015brodowiska Wireframe and Surface lub Generative Shape Design). W obszarach pomi\u0119dzy punktami Point1 i Point2 oraz Point3 i Point4 tak zdefiniowana krzywa b\u0119dzie oczywi\u015bcie r\u00f3\u017cna od pierwotnie zdefiniowanych krzywych przekroj\u00f3w (kolor zielony na Rys. 9), ale z pewno\u015bci\u0105 b\u0119dzie ona mia\u0142a ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 G2, a charakter zmian krzywizny b\u0119dzie bardziej jednorodny. Zadaniem konstruktora jest ocena, czy taka krzywa spe\u0142nia wymagania konstrukcyjne i mo\u017ce by\u0107 zastosowana w definicji powierzchni.<\/p>\n \n \nRYS. 9.<\/em><\/strong><\/p>\n \nJe\u015bli \u017cadna z wy\u017cej opisanych metod nie gwarantuje pozytywnego rezultatu, to trzeba zastosowa\u0107 funkcje z zakresu modelowania powierzchni swobodnych (FreeStyle) ? mechanik musi skorzysta\u0107 z funkcji, kt\u00f3re na og\u00f3\u0142 stosuje stylista. Algorytmy modelowania swobodnego umo\u017cliwiaj\u0105 definiowanie i modyfikacje krzywych oraz powierzchni w oparciu o ich modele matematyczne. Precyzyjnie nale\u017ca\u0142oby powiedzie\u0107, \u017ce konstruktorstylista definiuje kszta\u0142t krzywej lub powierzchni dostosowuj\u0105c po\u0142o\u017cenie jej punkt\u00f3w kontrolnych. Mo\u017ce to robi\u0107 ?na piechot\u0119? przez ustalenie warunk\u00f3w ci\u0105g\u0142o\u015bci powierzchni wzd\u0142u\u017c wszystkich jej krzywych granicznych i ?r\u0119czne? przemieszczanie punkt\u00f3w kontrolnych. Mo\u017cna tak\u017ce ? pod warunkiem, \u017ce system CAD oferuje takie mo\u017cliwo\u015bci ? zdefiniowa\u0107 wymagane rodzaje ci\u0105g\u0142o\u015bci pomi\u0119dzy kolejnymi p\u0142atami powierzchni, a system automatycznie dostosuje po\u0142o\u017cenie kolejnych punkt\u00f3w, a dok\u0142adniej rz\u0119d\u00f3w punkt\u00f3w kontrolnych. Co wi\u0119cej, je\u015bli dla tych powierzchni zosta\u0142a wcze\u015bniej zdefiniowana analiza rozk\u0142adu krzywizny Gaussa (lub jakakolwiek inna!), to wp\u0142yw ka\u017cdej modyfikacji jest widoczny natychmiast w stosownych zmianach wynik\u00f3w tej analizy (Rys. 10). W rozwa\u017canym przyk\u0142adzie, je\u015bli zdefiniowane s\u0105 trzy powierzchnie (ka\u017cda o innym stopniu swobody), to mo\u017ce si\u0119 okaza\u0107, \u017ce liczba punkt\u00f3w kontrolnych powierzchni C w kierunku v (Nv=4) jest zbyt ma\u0142a, aby zapewni\u0107 spe\u0142nienie warunk\u00f3w ci\u0105g\u0142o\u015bci z powierzchniami A i B. Dlaczego? ? Odsy\u0142am do opisu konstrukcji krzywej typu B-Spline (?Elementarz cz. IV?). Je\u015bli ustalony jest warunek ci\u0105g\u0142o\u015bci G2 z powierzchni\u0105 B, to dla kraw\u0119dzi wsp\u00f3lnej z powierzchni\u0105 A mo\u017cliwy jest jedynie wyb\u00f3r pomi\u0119dzy G0 i G1 ? trzeba zwi\u0119kszy\u0107 stopie\u0144 powierzchni C w kierunku v do d\u00b0=5 (6 punkt\u00f3w kontrolnych).<\/p>\n \n \nRYS. 10.<\/em><\/strong><\/p>\n \nMo\u017cliwe jest tak\u017ce zastosowanie bardziej zaawansowanych funkcji, takich jak Match Surface (Rys. 11), kt\u00f3ra dostosowuje kszta\u0142t powierzchni i sie\u0107 jej punkt\u00f3w kontrolnych do wskazanej kraw\u0119dzi innej powierzchni z zachowaniem rodzaju ci\u0105g\u0142o\u015bci zdefiniowanej przez konstruktora, a w sytuacji zbyt du\u017cych wymaga\u0144 ?podpowiada?: Your surface is over-constrained. Tak\u017ce i tu zmiana liczby punkt\u00f3w kontrolnych powierzchni C z N=4 na N=6 rozwi\u0105zuje problem ? powierzchnia C mo\u017ce mie\u0107 ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 krzywizny z powierzchniami A i B.<\/p>\n \n \nRYS. 11.<\/em><\/strong><\/p>\n \nJe\u015bli, pomimo tych wszystkich zabieg\u00f3w, jako\u015b\u0107 modelu powierzchniowego nie jest zadawalaj\u0105ca, to odsy\u0142am na pocz\u0105tek ? powierzchnia jest tak dobra, jak dobre s\u0105 krzywe! Bo tylko g\u0142adkie krzywe z r\u00f3wnomiernymi zmianami krzywizny (Rys. 12) zapewni\u0105 dobrej jako\u015bci modele powierzchniowe projektowanych wyrob\u00f3w.<\/p>\n \n \nRYS. 12.<\/em><\/strong><\/p>\n \nPodsumowanie<\/strong><\/p>\n \nMam nadziej\u0119, \u017ce przekona\u0142em sceptyk\u00f3w do tego, \u017ce model matematyczny krzywej lub powierzchni nie jest tylko przedmiotem bada\u0144 teoretycznych. Czy mo\u017cna m\u00f3wi\u0107 o zaawansowanym modelowaniu powierzchniowym bez analizy jako\u015bci krzywych i powierzchni? Chyba nie, bo dopiero wnioski z takiej analizy prowadz\u0105 do wyboru innej metody, funkcji (innego modelu matematycznego) albo modyfikacji stopnia swobody krzywej (powierzchni), a \u015bwiadomy wyb\u00f3r modelu lub stopnia swobody bez \u017cadnych podstaw teoretycznych brzmi jako\u015b nielogicznie. Jednak, aby nie by\u0107 pos\u0105dzonym o przesadne teoretyzowanie musz\u0119 przyzna\u0107, \u017ce dzisiejsze systemy CAD coraz bardziej ?zwalniaj\u0105? konstruktora z patrzenia na model powierzchniowy kategoriami teoretycznych modeli matematycznych. Czy kiedykolwiek b\u0119dzie tak, \u017ce w \u015brodowisku CAD mo\u017cna b\u0119dzie definiowa\u0107 zaawansowane modele powierzchniowe bez znajomo\u015bci teorii? Tego nie jestem pewien, ale z pewno\u015bci\u0105 wiedza z zakresu teorii po\u0142\u0105czona z praktyk\u0105 konstrukcyjn\u0105 zawsze b\u0119dzie warto\u015bciowa.<\/p>\n Autor: TEKST I RYSUNKI: ANDRZEJ WE\u0141YCZKO<\/i><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Kontynuuj\u0105c rozwa\u017cania na temat opisu matematycznego element\u00f3w geometrycznych w systemach CAD trzeba jeszcze doda\u0107, \u017ce model matematyczny powierzchni jest rozszerzeniem modelu matematycznego krzywej<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_mi_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[37],"tags":[],"class_list":["post-3393","post","type-post","status-publish","format-standard","category-cad-cam-cae"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3393","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3393"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3393\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3393"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3393"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3393"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/d24a1c8c.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/cf5235fc.gif\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/a213ce45.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/6ebdc02c.gif\")
<\/em><\/strong><\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/e87984da.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/a371e4fa.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/b4e17938.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/50e1392a.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/adc54525.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/7f38313c.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.designnews.pl\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/img\/e8045263.gif\")
<\/p>\n